Абсолютно будущие, абсолютно прошедшие и абсолютно удаленные события

Возьмем какое-нибудь событие, пусть это будет событие O, в качестве начала отсчета времени и пространственных координат. По осям этой четырехмерной системы координат будем откладывать значения x, y, z и ct. Определим теперь, в каком отношении к этому событию O находятся все остальные события. Для наглядности мы ограничимся только одной пространственной координатой и временем, откладывая их на двух осях. Так прямолинейное и равномерное движение частицы, проходящей точку x = 0 в момент времени t = 0, будет изображаться прямой линией, проходящей через начало координат O и наклоненой к оси ct под углом, тангенс которого равен отношению скорости частицы к скорости света v/c. Поскольку наибольшая возможная скорость равна c, то наибольший угол, который может образовывать эта прямая с осью ct, очевидно, равен 45°.

Рис. 1. Движение частицы (со скоростью v) и луча света (со скоростью c). tgα = v/c.

На рис. 2 сплошной линией изображены две прямые ab и cd, изображающие распространение со скоростью света двух сигналов в противоположных направлениях вдоль оси x и проходящих через начало координат в момент времени t = 0.

Рис. 2. Область движения материальных частиц, проходящих точку x = 0 в момент времени t = 0.

Все линии, изображающие движение частиц, могут лежать только внутри областей aOc и dOb. На прямых ab и cd, очевидно, x = ± ct. Рассмотрим теперь события, мировые точки которых лежат внутри области aOc. Во всех точках этой области c2t2–x2 > 0, т.е. интервал между любым событием в этой области и событием O — времениподобный. В этой области t>0, т.е. все события этой области происходят "после" события O.

Рис. 3. Разбиение пространства-времени на абсолютно будущие, абсолютно прошедшие и абсолютно удаленные события.

Но два события, разделенные времениподобным интервалом, ни в какой системе отсчета не могут происходить одновременно. Следовательно, нельзя выбрать и никакой системы отсчета, где какое-нибудь из событий области aOc происходило бы "до" события O, т.е. когда было бы t<0. Таким образом, все события области aOc являются будущими по отношению к O, и притом во всех системах отсчета. По этой причине эту область можно назвать абсолютно будущей по отношению к событию O.

Рис. 4. Заштрихованная область соответствует времениподобным интервалам.

Рассуждая аналогичным образом, мы приходим к выводу, что все события области bOd являются абсолютно прошедшими по отношению к O, т.е. события этой области во всех системах отсчета происходят до события O.

Наконец, рассмотрим еще области dOa и cOb.

Рис. 5. Заштрихованная область соответствует пространственноподобным интервалам.

Интервал между любым событием этой области и событием O — пространственноподобный. В любой системе отсчета эти события происходят в разных местах пространства. Поэтому эти области можно назвать абсолютно удаленными по отношению к O. Понятия "одновременно", "раньше" и "позже" для этих событий, однако, относительны. Для всякого события из этой области найдутся такие системы отсчета, где оно происходит позже события O, системы, где оно происходит раньше O, и, наконец, одна система отсчета, где оно происходит одновременно с O.



Световой конус

Заметим, что если рассматривать все три пространственные координаты вместо одной, то вместо двух пересекающихся прямых ab и dc на рис. 3, мы имели бы "конус"

x2+y2+z2–c2t2 = 0 (20)

в четырехмерной системе координат x, y, z, t, ось которого совпадает с осью t. Этот конус называют световым конусом. Области "абсолютно будущего" и "абсолютно прошедшего" изображаются тогда соответственно двумя внутренними полостями этого конуса. Здесь имеется полная аналогия с евклидовой геометрией, в которой конус, изображенный на рис. 6, описывается уравнением

z2–x2–y2 = 0. (21)

Рис. 6. Обычный конус.

Два события могут быть причинно связаны друг с другом только в том случае, если интервал между ними времениподобный, так как никакое взаимодействие не может распространяться со скоростью света. Как мы только что убедились, как раз для таких событий имеют абсолютный смысл понятия "раньше" и "позже", что является необходимым условием для того, чтобы имели смысл понятия причины и следствия.

1 т.е. ее независимости от выбора инерциальной системы отсчета.

2 Например в случае обычного правила сложения скоростей


ЛЕКЦИЯ 3

· Собственное время. Парадокс близнецов.

· Распад пиона.

· Преобразования Лоренца. Лоренцево сокращение.

· Собственная длина стержня.

Собственное время

Предположим, что мы наблюдаем из некоторой инерциальной системы отсчета произвольным образом движущиеся относительно нас часы. В каждый отдельный момент времени это движение можно рассматривать как равномерное. Поэтому в каждый момент времени можно ввести связанную с часами инерциальную систему координат в которой в этот момент времени эти часы покоятся. В течение бесконечно малого промежутка времени dt по нашим часам движущиеся часы проходят расстояние

(1)

Спрашивается, какой промежуток времени dt' покажут при этом движущиеся часы. В системе координат, связанной с движущимися часами, последние покоятся, т.е. dx' = dy' = dz' = 0. В силу инвариантности интервала

ds2 = c2dt2–dx2–dy2–dz2 = c2dt' 2 , (2)

откуда

(3)

Но

(4)

где v есть скорость движущихся часов. В результате:

(5)

Если проинтегрировать это выражение, то можно найти промежуток времени, показываемый движущимися часами, если по неподвижным часам прошло время t2–t1:

(6)

Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с данным объектом, называется собственным временем этого объекта.

Таким образом, формулы (5) и (6) выражают собственное время через время системы отсчета, относительно которой рассматривается движение.

Как следует из (5) или (6), собственное время движущегося объекта всегда меньше, чем соответствующий промежуток времени в неподвижной системе. Другими словами, движущиеся часы идут медленнее неподвижных.

Парадокс близнецов

Пусть прямолинейно и равномерно относительно системы отсчета K движутся другие часы. Система отсчета K', связанная с этими часами, тоже инерциальная. Тогда с точки зрения наблюдателя в системе K часы в системе K' отстают по сравнению с его часами. И наоборот, с точки зрения наблюдателя K' отстают часы в системе K. Этот кажущийся парадокс называется в теории относительности парадоксом близнецов. Убедиться в отсутствии какого-либо противоречия можно следующим образом. Для того, чтобы установить, что часы в системе K' отстают относительно часов в системе K, надо сравнить их с часами в системе K. Но в каждый момент времени это будут разные часы в системе K — те, мимо которых в данный момент пролетают часы в системе K'.

Таким образом, мы видим, что для сравнения хода часов в двух системах отсчета необходимы несколько часов в одной системе и одни в другой. Поэтому данный процесс сравнения несимметричен по отношению к обоим системам. Всегда окажутся отстающими те часы, которые сравниваются с разными часами в другой системе отсчета.

Рис. 1. Отставание часов в системе K' по сравнению с часами в системе K.

Рассмотрим теперь двое часов, из которых одни описывают замкнутую траекторию, возвращаясь в исходное место (к неподвижным часам). В этом случае окажутся отстающими именно эти движущиеся часы (по сравнению с неподвижными). Здесь также нет никакого противоречия, так как обратное рассуждение, в котором движущиеся часы рассматривались бы как неподвижные, теперь невозможно. Часы, описывающие замкнутую траекторию, не движутся равномерно и прямолинейно, а поэтому связанная с ними система отсчета не является инерциальной. Ведь законы природы одинаковы только в инерциальных системах. Поэтому системы отсчета, связанные с неподвижными часами (инерциальная система) и с движущимися (неинерциальная), обладают разными свойствами, и рассуждение, приводящее к результату, что покоящиеся часы должны оказаться отстающими, неправильно.

Замедление хода часов в движущейся системе — явление весьма своеобразное, и его стоит пояснить. Чтобы лучше понять его, давайте проследим, что бывает с часовым механизмом, когда часы движутся. Так как это довольно непростая задача, то лучше часы выбрать попроще. Пусть это будет вертикально расположенный метровый стержень с зеркалами на обоих концах. Если пустить световой сигнал между зеркалами, то он будет без конца бегать туда-сюда, а часы будут тикать каждый раз, как только свет достигнет нижнего конца.

Рис. 2. Световые часы в неподвижной системе координат.

Мы изготовим двое таких часов со стержнем равной длины L и синхронизуем их ход, запустив их одновременно. Дадим одни часы космонавту с собой на межпланетный корабль. Пусть он их поставит поперек направления движения, тогда длина стержня не изменится. Проверить это можно следующим образом. Наблюдатель, остающийся на Земле, может договориться с космонавтом, что на некоторой высоте y в тот момент, когда стержни поравняются, пролетая друг мимо друга, каждый сделает другому на его стержне метку. Из симметрии ясно, что обе отметки придутся на те же самые координаты y и y'. В противном случае одна метка окажется ниже или выше другой и, сравнив их, можно будет сказать, кто из них двигался на самом деле.

Давайте теперь посмотрим, что будет происходить с движущимися часами. Входя на борт корабля, космонавт убедился, что это вполне приличные стандартные часы и ничего особенного в их поведении на корабле он не заметил. Часы тикают каждый раз через время

(7)

А если бы он что-то заметил, то сразу понял бы, что он движется. Принцип же относительности утверждает, что в равномерно движущейся системе это невозможно, поэтому в часах никаких изменений произойти не должно.

С другой стороны, когда внешний наблюдатель взглянет на пролетающие мимо него часы, он увидит, что свет, перебегая от зеркала к зеркалу, на самом деле движется зигзагами, потому что стержень все время перемещается боком.

Рис. 3. Световые часы в движущейся системе координат.

Скорость света в движущейся системе осталась прежней. Поэтому гипотенуза прямоугольного треугольника на рис. 3 равна ct, где t — время движения света от одного зеркала к другому (измеренное в неподвижной системе). За это же время верхнее зеркало пройдет расстояние, равное vt, где v — скорость стержня. Из теоремы Пифагора получаем, что

c2t2 = L2+v2t2 . (8)

Отсюда имеем

(9)

где T — период тикания движущихся часов измеренный наблюдателем на Земле, а τ = 2L/c — аналогичный период, измеренный космонавтом на космическом корабле.

С точки зрения земного наблюдателя свету понадобится больше времени, чтобы пройти движущийся стержень из конца в конец, — больше, чем когда стержень неподвижен. Поэтому кажущийся промежуток времени между тиканьями движущихся часов удлинится в той же пропорции, во сколько раз гипотенуза треугольника длиннее катета (из-за этого в формуле и появляется корень). Из рисунка 3 видно, что чем больше v, тем сильнее видимое замедление хода часов. И не только такие часы начнут отставать, но (если только теория относительности верна!) любые часы, основанные на любом принципе, также должны отстать, причем в том же отношении. Почему?

Предположим, что у нас есть еще двое часов, целиком сходных между собой, скажем, с шестеренками и камнями, или основанных на радиоактивном распаде, или еще какие-нибудь. Опять согласуем их ход с нашими первыми часами. Возьмем с собой на космический корабль новую модель часов. Может быть, эти часы уже не отстанут, а будут вести себя так же, как и их неподвижный двойник, оставшийся на Земле. Ан нет! Если они разойдутся с первой моделью (которая тоже находится на корабле), то космонавт сможет использовать эту разницу в ходе обоих часов, чтобы определить скорость корабля. А ведь считается, что скорость узнать невозможно. Таким образом, нам ничего не нужно знать о механизме работы новых часов, не нужно анализировать, что именно в них замедляется, мы просто уверены, что, какова бы ни была причина, ход часов будет выглядеть замедленным, и притом в любых часах одинаково!

Что же получается? Если все движущиеся часы замедляют свой ход, если любой способ измерения времени приводит к замедленному темпу его течения на космическом корабле, нам остается лишь признать, что само время в определенном смысле, кажется на движущемся корабле замедленным. На корабле все: и пульс космонавата, и быстрота его соображения, и время, необходимое для приготовления пищи, и период его возмужания и старения — все это должно замедлиться в одинаковой степени, поскольку иначе можно будет узнать, что корабль движется. Биологи и медики иногда говорят, что у них нет уверенности в том, что, например, раковая опухоль будет в космическом корабле развиваться дольше. Однако с точки зрения современного физика это случится почти наверняка; в противном случае по быстроте развития опухоли можно было бы судить о скорости корабля.

Этот удивительный результат специальной теориии относительности открывает поистинно фантастические возможности путешествовать к далеким мирам, звездам и галактикам, свет от которых идет к нам тысячи или даже миллионы лет. Действительно, ведь если скорость корабля близка к скорости света, то на корабле при этом может пройти совсем немного времени, скажем, лет 10 или 20. То есть, двигаясь со скоростью близкой к световой, человек может за свою жизнь исследовать удаленные уголки нашей Вселенной. Ему только некому будет рассказать об увиденном. Вернувшись на Землю, он узнает, что все его близкие родственники и друзья, колеги, которые посылали его в эту командировку, давно уже умерли и воспоминание о старте космического корабля много миллионов лет назад (по земному времени) истерлось из памяти землян. Обидно, конечно, но ничего не поделаешь. Таковы законы природы.

Распад пиона

Рис. 4. Распад пиона.

Очень интересным примером замедления времени при движении снабжают нас π+-мезоны (или просто пионы) — положительно заряженные нестабильные частицы с массой около 273 me, где me — электронная масса. В системе отсчета, где он неподвижен, π+-мезон через время

τ = 2,5· 10–8 сек (период полураспада) (10)

распадается на μ+-мезон (масса покоя примерно 215 me) и нейтрино (масса покоя равна нулю).

Опыты по определению времени жизни π+-мезонов были описаны Дарбиным, Лоаром и Хевенсом (Physical Review, 88, 179 (1952)). В этих экспериментах были образованы пучки π+-мезонов со скоростью v, для которой величина

(11)

и их среднее время жизни в пучке было равно

(12)

Рассмотрим пучок π+-мезонов, движущихся со скоростью, почти равной c. Если бы не существовало релятивистского замедления времени, то до распада они прошли бы в среднем расстояние, равное

(2,5· 10–8 сек)· (3· 1010 см/сек) ≈ 750 см = 7,5 м . (13)

Рис. 5. Взаимное расположение пузырьковой камеры и источника пионов в Радиационной лаборатории Лоуренса.

В действительности из-за замедления времени они проходят значительно дальше. Водородная пузырьковая камера Радиационной лаборатории Лоуренса находится на расстоянии около 100 м от источника пионов в бэватроне. Расстояние, проходимое пионами до их распада, на самом деле из-за эффекта замедления времени составляет

(2,5· 10–6 сек)·(3· 1010 см/сек) = 750 м , (14)

т.е. оно в 100 раз больше, чем если бы замедления времени не было. В физике элементарных частиц при расчете приборов для опытов с частицами высоких энергий учитываются большие длины пробега, обусловленные законами теории относительности. Каждый физик, работающий в области физики высоких энергий, ежедневно убеждается в правильности специальной теории относительности. Он применяет ее с такой же уверенностью, с какой физики девятнадцатого века применяли законы Ньютона.

Итак, с нашей точки зрения, пион, движущийся со скоростью, близкой к скорости света, живет дольше и поэтому проходит большее расстояние. Но как на то же самое "смотрит" сам пион? С его "точки зрения" он живет время, равное 2,5· 10–8 сек. Если он движется со скоростью, близкой к скорости света относительно окружающих его предметов (источника пионов, пузырьковой камеры), то он за это время проходит расстояние, равное 7,5 м. В то же время, с точки зрения неподвижного наблюдателя, это расстояние равно (как мы только что убедились) 750 м.

Противоречие? Нет! Все правильно! Для пиона (движущегося со скоростью близкой к c) все расстояния "кажутся" меньше (в 100 раз в нашем примере), чем на Земле. В частности, с "точки зрения" пиона расстояние между источником пионов (где он родился) и водородной камерой (где его регистрируют) равно не 100 м, а всего 1 м.

Таким образом, не только время течет с разной скоростью в разных инерциальных системах отсчета, но и расстояния в пространстве между двумя точками кажутся разными для наблюдателей разных инерциальных систем.

С точки зрения инвариантности интервала этот факт достаточно очевиден. Для двух событий 1 и 2, рассматриваемых в разных системах отсчета K и K', одинаковым оказывается только интервал

(15)

Если промежуток времени t12 и t'12 кажется разным для наблюдателей в K и K'

t12≠ t12' , (16)

то в силу инвариантности интервала s12 = s'12 разными будут и пространственные расстояния l12 и l12' между этими событиями 1

l12≠ l'12 . (17)

Преобразования Лоренца

Нашей задачей сейчас будет нахождение формул преобразования от одной инерциальной системы отсчета к другой, т.е. формул, по которым, зная координаты x, y, z, t события в некоторой системе отсчета K, можно найти координаты x', y', z', t' того же события в другой инерциальной системе K'.

В классической механике, как известно, этими преобразованиями являются преобразования Галилея (см. рис 6):

x = x'+Vt, y = y', z = z', t = t' . (18)

Рис. 6. Две инерциальные системы отсчета.

Однако они не удовлетворяют требованию теории относительности, так как не оставляют инвариантными интервалы между событиями. Релятивистские же формулы преобразования мы будем искать из требования, чтобы они оставляли интервалы инвариантными.

Как мы уже видели ранее, интервал между двумя событиями можно рассматривать как расстояние между соответствующими двумя мировыми точками в четырехмерной системе координат. Мы, следовательно, можем сказать, что искомое преобразование должно оставлять неизменными все длины в четырехмерном пространстве x, y, z, ct. По аналогии с обычной (декартовой) системой координат такими преобразованиями являются только параллельные переносы и вращения системы координат. Из них переносы системы координат параллельно самой себе не представляют интереса, так как сводятся просто к переносу начала пространственных координат и изменению момента начала отсчета времени. Таким образом, искомое преобразование должно математически выражаться как вращение четырехмерной системы координат x, y, z, t.

Всякое вращение в четырехмерном пространстве можно разложить на шесть независимых вращений в плоскостях 2

xy, yz, xz, xt, yt, zt (19)

(подобно тому, как всякое вращение в обычном трехмерном пространстве можно разложить на три вращения в плоскостях xy, yz, xz). Первые три из этих вращений преобразуют только пространственные координаты; они соответствуют обычным пространственным поворотам.

Рассмотрим поворот в плоскости tx; координаты y и z при этом не меняются. Это преобразование должно оставлять неизменной разность

c2t2–x2 = c2t' 2 – x' 2 (20)

— квадрат расстояния от точки (ct,x) до начала координат. Искомое преобразование будем искать в виде линейной комбинации

(21)

так что

(22)

Сравнивая последнее выражение с c2t' 2 – x' 2, мы приходим к выводу, что для выполнения равенства (20) необходимо потребовать, чтобы

(23)

Первым двум равенствам можно удовлетворить автоматически, положив 3

b00 = chψ , b10 = shψ , (24)

поскольку для любого ψ тождественно ch2ψ – sh2ψ = 1. И аналогично

b11 = chψ' , b01 = shψ' . (25)

Тогда третье запишется в виде

shψ'chψ = chψ'shψ , или thψ = thψ' . (26)

Откуда следует, что ψ = ψ'. В результате

(27)

Параметр ψ можно при этом рассматривать как угол поворота четырехмерной системы координат. Формулы (27) отличаются от обычных формул преобразования при повороте осей координат заменой тригонометрических функций гиперболическими. В этом проявляется отличие псевдоевклидовой геометрии от евклидовой.

Мы ищем формулы преобразования от инерциальной системы отсчета K к системе K', которая движется относительно K со скоростью V вдоль оси x (см. рис. 6). При этом, очевидно, подвергаются преобразованию только координата x и время t. Поэтому оно должно быть вида (27). Остается определить угол ψ, который может зависеть только от относительной скорости V.

Рассмотрим движение в системе K начала координат системы отсчета K'. Тогда x' = 0 и формулы (27) принимают вид

(28)

Разделив одно на другое, получим

(29)

Но x/t есть скорость V системы отсчета K' относительно K. В результате

(30)

Учитывая, что

(31)

получаем

(32)

или окончательно

(33)

Это и есть искомые формулы преобразования. Они носят название формул преобразования Лоренца и имеют для дальнейшего фундаментальное значение.

Обратные формулы, выражающие x', y', z', t' через x, y, z, t проще всего получить заменой V→ –V (так как система K движется относительно K' со скоростью –V). Эти же формулы можно получить непосредственно, решая уравнения (33) относительно x', y', z', t'.

Из (33) следует, что при предельном переходе к классической механике c→∞ преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.

Лоренцево сокращение

Пусть в системе отсчета K покоится линейка, параллельная оси x. Ее длина, измеренная в этой системе, пусть будет равна Δ x = x2–x1 (x2 и x1 — координаты обоих концов линейки в системе K). Найдем теперь длину этой линейки, измеренную в системе K'. Для этого надо найти координаты обоих концов линейки (x2' и x1') в этой системе в один и тот же момент времени t'. Используя формулу преобразований Лоренца для координаты x, находим

(34)

Длина линейки в системе K' есть

Δ x' = x2'–x1' . (35)

Вычитая x1 из x2, находим

(36)

Собственной длиной стержня называется его длина в той системе отсчета, в которой он покоится. Обозначим ее через l0 = Δ x, а длину того же стержня в системе отсчета K' через l = Δ x'. Тогда из (36) получаем

(37)

Таким образом, самую большую длину стержень имеет в той системе отсчета, где он покоится. Длина его в системе, в которой он движется со скоростью V, уменьшается в отношении . Этот результат теории относительности называется лоренцевым сокращением.

Поскольку поперечные размеры тела при его движении не меняются, то объем тела сокращается по аналогичной формуле:

(38)

где есть собственный объем тела.

Из преобразований Лоренца можно найти уже известные нам результаты относительно собственного времени. Пусть в системе K' покоятся часы. В качестве двух событий возьмем два события, произошедшие в одном и том же месте x', y', z' пространства в системе K'. Время в системе K' между этими событиями есть Δ t' = t2'–t1'. Найдем теперь время Δ t, которое прошло между этими же событиями в системе отсчета K. Имеем из преобразований Лоренца для времени

(39)

Вычитая одно из другого:

(40)

или — в полном соответствии с предыдущими результатами.

1 Так, если мы полетим к далеким звездам со скоростью, близкой к скорости света, то расстояние до них нам будет казаться меньше, чем на Земле, и в пределе v→ c будет стремиться к нулю!

2 С этой точки зрения бесконечно малый поворот в четырехмерном пространстве не является вектором, так как четырехмерный вектор должен иметь четыре, а не шесть компонент.

3 По определению: shψ = (eψ – e–ψ)/2, chψ = (eψ + e–ψ)/2, thψ = shψ/chψ.


ЛЕКЦИЯ 4

· Преобразование скоростей. Опыт Физо.

· Четырехмерные векторы и тензоры II ранга.

· Четырехмерная скорость. Гиперболическое движение.

Преобразование скоростей

Мы нашли формулы, связывающие координаты события в одной инерциальной системе с координатами того же события в другой инерциальной системе. Теперь давайте найдем формулы, связывающие скорость движущейся материальной точки в одной системе отсчета со скоростью той же точки в другой системе. Пусть опять система K' движется относительно системы K со скоростью V в положительном направлении вдоль оси x. Пусть vx = dx/dt есть x компонента скорости в системе K, а vx' = dx'/dt' — компонента скорости той же точки в системе K'.

Будем исходить из преобразований Лоренца для координат и времени

(1)

Отсюда имеем

(2)

Разделив первые три равенства на четвертое и введя скорости

(3)

находим

(4)

(5)

(6)

Формулы (4-6) и определяют преобразование скоростей. Они представляют собой закон сложения скоростей в теории относительности. В предельном случае c→∞ они переходят в известные формулы классической механики:

vx = vx'+V, vy = vy', vz = vz' . (7)

В частном случае движения частицы параллельно оси x имеем vx = v, vy = vz = 0. Тогда vy' = vz' = 0, а vx' = v', причем

(8)

Легко убедиться в том, что сумма двух скоростей, меньших или равных скорости света, есть снова скорость, не большая скорости света. Если обозначить

(9)

то правило сложения скоростей запишется в виде

(10)

Отсюда получаем, что φ = φ' + ψ. Поскольку гиперболический тангенс не может превышать единицу, то всегда . Знак равенства достигается при v' = c, тогда из (8) следует, что и v = c. Это еще раз подтверждает тот факт, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Опыт Физо

Применим формулу (8) для сложения скоростей к распространению света в жидкости, которая равномерно движется (течет) со скоростью V. Как известно, скорость света относительно неподвижной жидкости равна v' = c/n, где n — показатель преломления жидкости. Предполагая, что свет распространяется в направлении течения жидкости, найдем его скорость относительно "неподвижной" системы отсчета. Для этого подставим в формулу (8) v' = c/n и преобразуем, оставляя только члены первого порядка по V/c << 1:

(11)

В итоге мы приходим к результату, что скорость света в движущейся (в направлении распространения света) жидкости равна

(12)

То есть она оказывается больше, чем скорость света в покоящейся жидкости. Жидкость увлекает свет за собой.

Интересно отметить, что эта формула была получена еще Френелем в 1818 г. Он исходил из представления, что эфир увлекается движущимися телами, однако не полностью, а лишь частично.

Рис. 1. Опыт Физо.

Эта же формула была экспериментально подтверждена Физо в 1851 г. Схема его опыта, в трактовке, усовершенствованной Майкельсоном (1886 г.) следующая.

Луч света от источника S раздваивается разделительной пластинкой P. Один луч на рисунке изображен сплошной, а другой пунктирной линией. Затем лучи проходят через трубки, по которым течет вода. Один луч идет в направлении течения, а другой против течения воды. Из-за различия скоростей лучей относительно неподвижных стенок трубки между ними при выходе из прибора возникает разность хода, изменяющаяся с изменением скорости течения V. Сначала наблюдается интерференция между лучами при неподвижной, а затем при текущей воде. По смещению интерференционных полос можно измерить разность хода, возникающую при течении, а по ней и разность скоростей v–c/n.

Четырехмерные векторы

Совокупность координат события (ct, x, y, z) можно рассматривать как компоненты четырехмерного радиус-вектора (или 4-радиус-вектора) в четырехмерном пространстве. Его компоненты мы будем обозначать через xi, где индекс i пробегает значения 0, 1, 2, 3, причем

x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z . (13)

Квадрат "длины" 4-радиус-вектора дается выражением

(x0)2–(x1)2–(x2)2–(x3)2 . (14)

Он не меняется при любых поворотах четырехмерной системы координат, которыми являются, в частности, преобразования Лоренца.

Вообще четырехмерным вектором (4-вектором) Ai называется совокупность четырех величин A0, A1, A2, A3, которые при преобразованиях четырехмерной системы координат преобразуются как компоненты 4-радиус-вектора xi. При преобразовании Лоренца

(15)

Квадрат величины всякого 4-вектора определяется аналогично квадрату 4-радиус-вектора:




182554824.html
183554824.html
184554824.html
18554824.html
185554824.html
    PR.RU™